Q9 Matemática  (Tournament Of Towns 2015)

Papai Noel tinha $n$ tipos de doces, $k$ doces de cada tipo. Ele os distribuiu aleatoriamente entre $k$ de presentes, $n$ de doces por saco e deu um saco para todas as crianças de $k$ na festa de Natal. As crianças aprenderam o que tinham nas malas e decidiram negociar. Duas crianças trocam um rebuçado por um rebuçado caso cada uma delas receba o rebuçado do tipo que faltava na sua bolsa. Prove que eles podem organizar uma sequência de trocas para que, finalmente, todas as crianças tenham doces de cada tipo.