Q43 Matemática  (Tournament Of Towns 2012)

(a) Um ponto $A$ é marcado dentro de uma esfera. Três linhas perpendiculares traçadas por $A$ interceptam a esfera em seis pontos. Prove que o centro de gravidade desses seis pontos não depende da escolha dessas três linhas. (b) Um icosaedro de centro $A$ é colocado dentro de uma esfera (seu centro não coincide necessariamente com o centro da esfera). Os raios que vão de $A$ aos vértices do icosaedro marcam pontos $12$ na esfera. Em seguida, o icosaedro é girado em torno de seu centro. Novos raios marcam novos pontos de $12$ na esfera. Sejam $O$ e $N$ os centros de massa de pontos antigos e novos, respectivamente. Prove que $O=N$.