Q34 Matemática  (Tournament Of Towns 2012)

(a) Um ponto $A$ está marcado dentro de um círculo. Duas linhas perpendiculares traçadas por $A$ interceptam o círculo em quatro pontos. Prove que o centro de massa desses quatro pontos não depende da escolha das linhas. (b) Um regular $2n$-gon ($n\ge 2$) com centro $A$ é desenhado dentro de um círculo (A não coincide necessariamente com o centro do círculo). Os raios que vão de $A$ aos vértices do $2n$-gon marcam $2n$ pontos no círculo. Então o $2n$-gon é girado em torno de $A$. Os raios indo de $A$ para as novas localizações dos vértices marcam novos $2n$ pontos no círculo. Sejam $O$ e $N$ os centros de gravidade de pontos antigos e novos, respectivamente. Prove que $O=N$.