Q12 Matemática  (Tournament Of Towns 2008)

Em uma sequência infinita $a_1,a_2,a_3,\cdots$, o número $a_1$ é igual a $1$, e cada $a_n,n>1$, é obtido de $a_{n-1}$ da seguinte forma: - if o maior divisor ímpar de $n$ tem resíduo $1$ módulo $4$, então $a_n=a_{n-1}+1,$ - e se este resíduo é igual a $3$, então $a_n=a_{n-1}-1.$ Prove que nesta sequência (a) o número $1$ ocorre infinitas vezes; (b) cada inteiro positivo ocorre infinitas vezes. (Os termos iniciais desta sequência são $1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,\cdots$ )