Q22 Matemática  (Tournament Of Towns 2000)

(a) Em um quadro-negro estão escritos $100$ diferentes números. Prove que você pode escolher $8$ deles para que seu valor médio não seja igual ao de qualquer $9$ dos números no quadro-negro. (b) Em um quadro-negro estão escritos $100$ inteiros. Para quaisquer $8$ deles, você pode encontrar números de $9$ no quadro-negro, de modo que o valor médio dos números de $8$ seja igual ao dos $9$. Prove que todos os números no quadro-negro são iguais. (A Shapovalov)