Q17 Matemática  (Tournament Of Towns 1999)

Para cada inteiro não negativo $i$, defina o número $M(i)$ da seguinte forma: escreva $i$ como um número binário, de modo que tenhamos uma sequência de zeros e uns, se o número de uns neste string é par, então defina $M(i)=0$, caso contrário, defina $M(i)=1$. (Os primeiros termos da sequência $M(i)$, $i=0,1,2,...$ são $0,1,1,0,1,0,0,1,...$ ) ( a) Considere a sequência finita $M(O),M(1),...,M(1000)$. Prove que existem pelo menos $320$ termos nesta sequência que são iguais ao seu vizinho à direita: $M(i)=M(i+1)$ . (b) Considere a sequência finita $M(O),M(1),...,M(1000000)$. Prove que o número de termos $M(i)$ tal que $M(i)=M(i+7)$ é pelo menos $450000$. (Um Canel)