Q24 Matemática  (Tournament Of Towns 1985)

(a) O jogo de "super xadrez" é jogado em um tabuleiro de $30x30$ e envolve $20$ de peças diferentes. Cada peça se move de acordo com suas próprias regras, mas não pode se mover de nenhuma casa para mais de $20$ em outras casas. Uma peça "captura" outra peça que está em uma casa para a qual se moveu. Um movimento permitido (ex. $m$ casas para a frente e $n$ casas para a direita) não depende da casa inicial da peça. Prove que (i) Uma peça não pode capturar uma peça em uma determinada casa de mais de $20$ de casas iniciais. (ii) É possível organizar todas as peças de $20$ no tabuleiro de tal forma que nenhuma delas possa capturar qualquer uma das outras em um movimento. (b) O jogo de "super-xadrez" é jogado em um tabuleiro de $100\times 100$ e envolve $20$ de peças diferentes. Cada peça se move de acordo com suas próprias regras, mas não pode se mover de nenhuma casa para mais de $20$ em outras casas. Uma peça "captura" outra peça que está em uma casa para a qual se moveu. É possível que um movimento permitido (por exemplo, $m$ quadrados para frente e $n$ quadrados para a direita) possa variar, dependendo da posição da peça. Prove que é possível arranjar todas as peças de $20$ no tabuleiro de tal forma que nenhuma delas possa capturar qualquer uma das outras em um movimento. (A.K. Tolpygo, Kiev) PS. (a) para Juniores, (b) para Seniores