Q14 Matemática  (Tournament Of Towns 1984)

Seja $p(n)$ o número de partições do número natural $n$ em somas naturais. A diversidade de uma partição é, por definição, o número de diferentes somatórios nela. Denote por $q(n)$ a soma das diversidades de todas as $p(n)$ partições de $n$. (Por exemplo, $p(4)=5$, as cinco partições distintas de $4$ sendo $4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1,$ e $g(4)=1+2+1+2+1=7$.) Prove que, para todos os números naturais $n$, (a) $q(n)=1+P(1)+P(2)+p(3)+...+p(n-1)$, (b) $q(n)<\sqrt{2n}p(n)$. (AV Zelevinskiy, Moscou)