Q21 Matemática  (Tournament Of Towns 1983)

Um conjunto $A$ de quadrados é dado em um tabuleiro de xadrez que é infinito em todas as direções. Em cada casa deste tabuleiro que não pertence a $A$ há um rei. Em um comando, todos os reis podem ser movidos de tal forma que cada rei permaneça em sua casa ou seja movido para uma casa adjacente, que pode ter sido ocupada por outro rei antes do comando. Cada casa pode ser ocupada por no máximo um rei. Existe tal número $k$ e tal maneira de mover os reis que depois de $k$ mover os reis ocupem todas as casas do tabuleiro de xadrez? Considere os seguintes casos: (a) $A$ é o conjunto de todos os quadrados, cujas coordenadas são múltiplas de $100$. (Existe uma linha horizontal numerada pelos inteiros de $-\infty$ a $+\infty$, e uma linha vertical semelhante. Cada quadrado do tabuleiro de xadrez pode ser denotado por dois números, suas coordenadas em relação a esses eixos.) (b) $A$ é o conjunto de todas as casas que são cobertas por $100$ de rainhas arbitrárias fixas (ou seja, cada casa coberta por pelo menos uma rainha). Observação: Se $A$ consiste em apenas uma casa, então $k=1$ e a maneira exigida é a seguinte: todos os reis à esquerda da casa de $A$ fazem um movimento para a direita.