Q16 Matemática  (Tournament Of Towns 1982)

(a) $K_1,K_2,...,K_n$ são os pés das perpendiculares de um ponto arbitrário $M$ dentro de um dado regular $n$-gon até seus lados (ou lados produzidos). Prove que a soma $\overrightarrow{M{K}_1}+\overrightarrow{M{K}_2}+...+\overrightarrow{M{K}_n}$ é igual a $\frac{n}{2}\overrightarrow{MO}$, onde $O$ é o centro do $n$-gon. (b) Prove que a soma dos vetores cuja origem é um ponto arbitrário $M$ dentro de um dado tetraedro regular e cujos extremos são os pés das perpendiculares de $M$ às faces do tetraedro é igual a $\frac{4}{3}\overrightarrow{MO}$, onde $O$ é o centro do tetraedro. (VV Prasolov, Moscou)