Q8 Matemática  (Simon Marais Mathematical Competition 2021)

seguinte problema está aberto no sentido de que a resposta para a parte (b) não é conhecida atualmente. A prova da parte (a) será atribuído 5 pontos. Até 7 pontos adicionais podem ser concedidos pelo progresso na parte (b). Seja $p(x)$ um polinômio de grau $d$ com coeficientes pertencentes ao conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$. Suponha que, para cada $1\le k\le d-1$, $p(x)$ e sua $k$th derivada $p^{(k)}(x)$ tenham uma raiz comum em $\mathbb{Q}$; isto é, existe $r_k\in \mathbb{Q}$ tal que $p(r_k)=p^{(k)}(r_k)=0$. (a) Prove que se $d$ é primo então existem constantes $a,b,c\in \mathbb{Q}$ tais que $$p(x)=c(ax+b{)}^d.$$(b) Para quais inteiros $d\ge 2$ a conclusão da parte (a) é válida?