Q4 Matemática  (Simon Marais Mathematical Competition 2021)

Para cada número real positivo $r$, defina $a_0(r)=1$ e $a_{n+1}(r)=\lfloor r{a}_n(r)\rfloor$ para todos os inteiros $n\ge 0$. (a) Prove que para cada número real positivo $r$, o limite $$L(r)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n(r)}{r^n}$$existe. (b) Determine todos os valores possíveis de $L(r)$ como $r$ varia ao longo do conjunto de números reais positivos. Aqui $\lfloor x\rfloor$ denota o maior inteiro menor ou igual a $x$.