Q8 Matemática  (Simon Marais Mathematical Competition 2019)

Uma string binária é uma sequência, cada um dos termos é $0$ ou $1$. Um conjunto $\mathcal{B}$ de strings binárias é definido indutivamente de acordo com as seguintes regras. A string binária $1$ está em $\mathcal{B}$. Se $s_1,s_2,\dots ,s_n$ estiver em $\mathcal{B}$ com $n$ ímpar, então $s_1,s_2,\dots ,s_n,0$ e $0,s_1,s_2,\dots ,s_n$ estão em $\mathcal{B}$. Se $s_1,s_2,\dots ,s_n$ estiver em $\mathcal{B}$ com $n$ par, então $s_1,s_2,\dots ,s_n,1$ e $1,s_1,s_2,\dots ,s_n$ estão em $\mathcal{B}$. Nenhuma outra string binária está em $\mathcal{B}$. Para cada inteiro positivo $n$, seja $b_n$ o número de strings binárias em $\mathcal{B}$ de comprimento $n$. Prove que existem constantes $c_1,c_2>0$ e $1,6<{\lambda }_1,{\lambda }_2<1,9$ tais que $c_1{\lambda }_1^n<b_n<c_2{\lambda }_2^n$ para todo inteiro positivo $n$. Determine ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }\sqrt[n]{b_n}$ e ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\sqrt[n]{b_n}$ Nota: O problema está em aberto no sentido de que nenhuma solução é atualmente conhecida para a parte (b).