Q3 Matemática (Silk Road 2020)

03 | Silk Road | 2020 | Matemática

Um polinômio $Q (x) = k_{n} x^{n} + k_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + k_{1} x + k_{0}$ com coeficientes reais é dito poderoso se a igualdade $∣ k_{0} ∣ = ∣ k_{1} ∣ + ∣ k_{2} ∣ + \dots + ∣ k_{n - 1} ∣ + ∣ k_{n} ∣$ , e não crescente, se $k_{0} \geq k_{1} \geq \dots \geq k_{n - 1} \geq k_{n}$ . Seja para o polinômio $P (x) = a_{d} x^{d} + a_{d - 1} x^{d - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ com coeficientes reais diferentes de zero, onde $a_{d} > 0$ , o polinômio $P (x) (x - 1)^{t} (x + 1)^{s}$ é poderoso para alguns inteiros não negativos $s$ e $t$ ( $s + t > 0$ ). Prove que pelo menos um dos polinômios $P (x)$ e $(- 1)^{d} P (- x)$ é não crescente.