Q4 Matemática  (Silk Road 2013)

No filme há $n$ papéis. Para cada $i$ ($1\le i\le n$), o papel do número $i$ pode representar $a_i$ uma pessoa, e uma pessoa pode desempenhar apenas um papel. Todos os dias é realizado um casting, no qual participam pessoas para $n$ papéis, e de cada papel apenas uma pessoa. Seja $p$ um número primo tal que $p\ge a_1,\dots ,a_n,n$. Prove que você pode ter $p^k$ castings de tal forma que se pegarmos $k$ pessoas que são julgadas em diferentes papéis, eles juntos participaram de algum casting ($k$ é um número natural que não excede $n$ ).