Q6 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2021)

Inicialmente, um polinômio não constante $S(x)$ com coeficientes reais é escrito em um quadro. Sempre que o quadro contém um polinômio $P(x)$, não necessariamente sozinho, pode-se escrever no quadro qualquer polinômio da forma $P(C+x)$ ou $C+P(x)$ onde $C$ é uma constante real. Além disso, se a placa contém dois polinômios (não necessariamente distintos) $P(x)$ e $Q(x)$, pode-se escrever $P(Q(x))$ e $P(x)+Q(x)$ para baixo na placa. Nenhum polinômio é apagado do quadro. Dados dois conjuntos de números reais, $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ e $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$, um polinômio $f(x)$ com coeficientes reais é $(A,B)$-legal se $f(A)=B$, onde $f(A)=\{f(a_i):i=1,2,\dots ,n\}$. Determine todos os polinômios $S(x)$ que podem ser inicialmente escritos no quadro tal que, para quaisquer dois conjuntos finitos $A$ e $B$ de números reais, com $|A|=|B|$, pode-se produzir um polinômio $(A,B)$-nice em um número finito de passos. Proposto por Navid Safaei, Irã