Q5 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2021)

Seja \(n\) um inteiro positivo. O reino de Zoomtopia é um polígono convexo com lados inteiros, perímetro \(6n\) e simetria rotacional \(60^\circ\) (ou seja, existe um ponto \(O\) tal que um \(60^ \circ\) rotação em torno de \(O\) mapeia o polígono para si mesmo). À luz da pandemia, o governo de Zoomtopia gostaria de realocar seus cidadãos \(3n^2+3n+1\) em pontos \(3n^2+3n+1\) do reino para que cada dois cidadãos tenham um distância de pelo menos \(1\) para distanciamento social adequado. Prove que isso é possível. (Assume-se que o reino contém sua fronteira.) Proposto por Ankan Bhattacharya, EUA