Q2 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2020)

Seja $N\ge 2$ um inteiro e $\mathbf{a}$ $=(a_1,\dots ,a_N)$ e $\mathbf{b}$ $=(b_1,\dots b_N)$ sequências de não- inteiros negativos. Para cada inteiro $i\notin \{1,\dots ,N\}$, seja $a_i=a_k$ e $b_i=b_k$, onde $k\in \{1,\dots ,N\}$ é o inteiro tal que $ik$ é divisível por $n$. Dizemos que $\mathbf{a}$ é $\mathbf{b}$-harmonic se cada $a_i$ for igual à seguinte média aritmética: $$a_i=\frac{1}{2b_i+1}\sum _{s=-b_i}^{b_i}{a}_{i+s}.$$Suponha que nem $\mathbf{a}$ nem $\mathbf{b}$ seja uma sequência constante, e que tanto $\mathbf{a}$ seja $\mathbf{b}$-harmonic e $\mathbf{b}$ é $\mathbf{a}$-harmônico. Prove que pelo menos $N+1$ dos números $a_1,\dots ,a_N,b_1,\dots ,b_N$ são zero.