Q1 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2020)

Seja $ABC$ um triângulo com um ângulo reto em $C$. Seja $I$ o incentro do triângulo $ABC$, e seja $D$ o pé da altura de $C$ a $AB$. O círculo $\omega$ do triângulo $ABC$ é tangente aos lados $BC$, $CA$ e $AB$ em $A_1$, $B_1$ e $C_1$, respectivamente. Sejam $E$ e $F$ os reflexos de $C$ nas linhas $C_1{A}_1$ e $C_1{B}_1$, respectivamente. Sejam $K$ e $L$ os reflexos de $D$ nas linhas $C_1{A}_1$ e $C_1{B}_1$, respectivamente. Prove que as circunferências dos triângulos $A_{1}EI$, $B_{1}FI$ e $C_{1}KL$ têm um ponto comum.