Q1 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2017)

(a) Prove que todo inteiro positivo $n$ pode ser escrito exclusivamente na forma $$n=\sum _{j=1}^{2k+1}(-1{)}^{j-1}{2}^{m_j},$$onde $k\ge 0$ e $0\le m_1<m_2\cdots <m_{2k+1}$ são números inteiros. Este número $k$ é chamado de peso de $n$. (b) Encontre (na forma fechada) a diferença entre o número de inteiros positivos no máximo $2^{2017}$ com peso par e o número de inteiros positivos no máximo $2^{2017}$ com peso ímpar.