Q6 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2016)

Um conjunto de $n$ pontos no espaço tridimensional euclidiano, nenhum dos quais quatro são coplanares, é particionado em dois subconjuntos $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$. Uma $\mathcal{A}\mathcal{B}$-tree é uma configuração de $n-1$ segmentos, cada um dos quais tem um ponto final em $\mathcal{A}$ e um ponto final em $\mathcal{B}$, e tal que nenhum segmento forma uma polilinha fechada. Uma árvore $\mathcal{A}\mathcal{B}$ é transformada em outra da seguinte forma: escolha três segmentos distintos $A_1{B}_1$, $B_1{A}_2$ e $A_2{B}_2$ na árvore $\mathcal{A}\mathcal{B}$ tal que $A_1$ seja em $\mathcal{A}$ e $|A_1{B}_1|+|A_2{B}_2|>|A_1{B}_2|+|A_2{B}_1|$ e remova o segmento $A_1{B}_1$ para substituí-lo pelo segmento $A_1{B}_2$. Dada qualquer $\mathcal{A}\mathcal{B}$-tree, prove que toda sequência de transformações sucessivas chega ao fim (nenhuma transformação adicional é possível) após um número finito de passos.