Q5 Matemática (Romanian Masters of Mathematics Collection 2016)

05 | Romanian Masters of Mathematics Collection | 2016 | Matemática

Um hexágono convexo $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2} A_{3} B_{3}$ está inscrito em uma circunferência $Ω$ com raio $R$ . As diagonais $A_{1} B_{2}$ , $A_{2} B_{3}$ , $A_{3} B_{1}$ são concorrentes em $X$ . Para cada $i = 1, 2, 3$ seja $ω_{i}$ tangente aos segmentos $X A_{i}$ e $X B_{i}$ e tangente ao arco $A_{i} B_{i}$ de $Ω$ que não contém os demais vértices do hexágono ; seja $r_{i}$ o raio de $ω_{i}$ . $(a)$ Prove que $R \geq r_{1} + r_{2} + r_{3}$ $(b)$ Se $R = r_{1} + r_{2} + r_{3}$ , prove que os seis pontos de tangência das circunferências $ω_{i}$ com as diagonais $A_{1} B_{2}$ , $A_{2} B_{3}$ , $A_{3} B_{1}$ são concíclicos