Q5 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2013)

Dado um inteiro positivo $k\ge 2$, defina $a_1=1$ e, para todo inteiro $n\ge 2$, seja $a_n$ a menor solução da equação $$x=1+\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor \sqrt[k]{\frac{x}{a_i}}\rfloor$$ que excede $a_{n-1}$. Prove que todos os primos estão entre os termos da sequência $a_1,a_2,\dots$