Q6 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2012)

Seja $ABC$ um triângulo e $I$ e $O$ denotando seu incentro e seu circuncentro, respectivamente. Seja ${\omega }_A$ a circunferência que passa por $B$ e $C$ que é tangente à circunferência do triângulo $ABC$; os círculos ${\omega }_B$ e ${\omega }_C$ são definidos de forma semelhante. Os círculos ${\omega }_B$ e ${\omega }_C$ se encontram em um ponto $A^{\prime }$ distinto de $A$; os pontos $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ são definidos de forma semelhante. Prove que as linhas $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$ e $C{C}^{\prime }$ são concorrentes em um ponto da linha $IO$. (Rússia) Fedor Ivlev