Q3 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2012)

Cada inteiro positivo é colorido de vermelho ou azul. Uma função $f$ do conjunto de inteiros positivos para si mesma tem as duas propriedades a seguir: (a) se $x\le y$, então $f(x)\le f(y)$; e (b) se $x,y$ e $z$ são (não necessariamente distintos) inteiros positivos da mesma cor e $x+y=z$, então $f(x)+f(y)=f(z)$. Prove que existe um número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todos os inteiros positivos $x$. (Reino Unido) Ben Elliott