Q6 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2011)

As células de um array quadrado $2011\times 2011$ são rotuladas com os inteiros $1,2,\dots ,2011^2$, de forma que cada rótulo seja usado exatamente uma vez. Em seguida, identificamos as bordas esquerda e direita e, em seguida, a parte superior e inferior, da maneira normal para formar um toro (a superfície de uma rosquinha). Determine o maior inteiro positivo $M$ tal que, não importa qual rotulação escolhamos, existam duas células vizinhas com a diferença de seus rótulos de pelo menos $M$. (As células com coordenadas $(x,y)$ e $(x^{\prime },y^{\prime })$ são consideradas vizinhas se $x=x^{\prime }$ e $y{y}^{\prime }\equiv \pm 1(\mathrm{mod}2011)$, ou se $y=y^{\prime }$ e $x{x}^{\prime }\equiv \pm 1(\mathrm{mod}2011)$.) (Romênia) Dan Schwarz