Q4 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2011)

Dado um inteiro positivo $n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{{\alpha }_i}$, escrevemos $\Omega (n)$ para o número total $\sum _{i=1}^s{\alpha }_i$ de fatores primos de $n$, contados com multiplicidade. Seja $\lambda (n)=(-1{)}^{\Omega (n)}$ (assim, por exemplo, $\lambda (12)=\lambda (2^2\cdot 3^1)=(-1{)}^{2+1}=-1$). Prove as duas afirmações a seguir: i) Existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $\lambda (n)=\lambda (n+1)=+1$; ii) Existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $\lambda (n)=\lambda (n+1)=-1$. (Romênia) Dan Schwarz