Q6 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2010)

Dado um polinômio $f(x)$ com coeficientes racionais, de grau $d\ge 2$, definimos a sequência de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}),f^1(\mathbb{Q}),\dots$ as $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$, $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^n(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$. (Dado um conjunto $S$, escrevemos $f(S)$ para o conjunto $\{f(x)\mid x\in S\})$. Seja $f^{\omega }(\mathbb{Q})={\bigcap }_{n=0}^{\infty }{f}^n(\mathbb{Q})$ o conjunto de números que estão em todos os define $f^n(\mathbb{Q})$, $n\ge 0$. Prove que $f^{\omega }(\mathbb{Q})$ é um conjunto finito. Dan Schwarz, Romênia