Q3 Matemática (Romanian Masters of Mathematics Collection 2010)

03 | Romanian Masters of Mathematics Collection | 2010 | Matemática

Seja $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ um quadrilátero sem par de lados paralelos. Para cada $i = 1, 2, 3, 4$ , defina $ω_{1}$ como o círculo que toca o quadrilátero externamente e que é tangente às linhas $A_{i - 1} A_{i}, A_{i} A_{i + 1}$ e $A_{i + 1} A_{i + 2}$ (os índices são considerados módulo $4$ então $A_{0} = A_{4}, A_{5} = A_{1}$ e $A_{6} = A_{2}$ ). Seja $T_{i}$ o ponto de tangência de $ω_{i}$ com o lado $A_{i} A_{i + 1}$ . Prove que as linhas $A_{1} A_{2}, A_{3} A_{4}$ e $T_{2} T_{4}$ são concorrentes se e somente se as linhas $A_{2} A_{3}, A_{4} A_{1}$ e $T_{1} T_{3}$ forem concorrentes. Pavel Kozhevnikov, Rússia