Q4 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2009)

Para um conjunto finito $X$ de inteiros positivos, seja $\Sigma (X)={\sum }_{x\in X}\mathrm{arctg}\frac{1}{x}.$ Dado um conjunto finito $S$ de inteiros positivos para que $\Sigma (S)<\frac{\pi }{2},$ mostram que existe pelo menos um conjunto finito $T$ de inteiros positivos para os quais $S\subset T$ e $\Sigma (S)=\frac{\pi }{2}.$ Kevin Buzzard, Reino Unido