Q1 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2009)

Para $a_i\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $i=1,\dots ,k$ e $n={\sum }_{i=1}^k{a}_i$, seja $d=\gcd (a_1,\dots ,a_k)$ denota o máximo divisor comum de $a_1,\dots ,a_k$. Prove que $\frac{d}{n}\cdot \frac{n!}{\prod _{i=1}^k(a_i!)}$ é um inteiro. Dan Schwarz, Romênia