Q12 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2019)

Sejam $p$ e $q$ inteiros ímpares positivos relativamente primos tais que $1<p<q$. Seja $A$ um conjunto de pares de inteiros $(a,b)$, onde $0\le a\le p-1,0\le b\le q-1$, contendo exatamente um par de cada um dos conjuntos $$\{(a,b),(a+1,b+1)\},\{(a,q-1),(a+1,0)\},\{(p-1,b),(0,b+1)\}$$ sempre que $0\le a\le p-2$ e $0\le b\le q-2$. Mostre que $A$ contém pelo menos $(p-1)(q+1)/8$ pares cujas entradas são pares. Agnijo Banerjee e Joe Benton, Reino Unido