Q5 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2018)

Sejam $k$ e $s$ inteiros positivos tais que $s<(2k+1{)}^2$. Inicialmente, uma célula de uma grade $n\times n$ é colorida em verde. Em cada turno, pegamos uma célula verde $c$ e colorimos de verde alguns $s$ das células $(2k+1{)}^2$ no quadrado $(2k+1)\times (2k+1)$ centralizado em $c$. Nenhuma célula pode ser colorida duas vezes em verde. Dizemos que $s$ é $k-esparso$ se existe algum número positivo $C$ tal que, para cada inteiro positivo $n$, o número total de células verdes após qualquer número de voltas sempre será no máximo $Cn$. Encontre, em termos de $k$, o menor inteiro $k$-esparso $s$. Proposto por Nikolai Beluhov.