Q4 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2018)

As equipes $N$ participam de uma liga. Cada equipe joga contra todas as outras equipes exatamente uma vez durante a liga e recebe 2 pontos por cada vitória, 1 ponto por cada empate e 0 pontos por cada derrota. Ao final da liga, a sequência do total de pontos em ordem decrescente $\mathcal{A}=(a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_N)$ é conhecida, bem como qual equipe obteve qual pontuação. Encontre o número de sequências $\mathcal{A}$ de modo que o resultado de todas as correspondências seja determinado exclusivamente por essa informação. Proposto por Dominic Yeo, Reino Unido.