Q5 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2017)

Seja $ABC$ um triângulo. Considere a circunferência ${\omega }_B$ tangente internamente aos lados $BC$ e $BA$, e à circunferência do triângulo $ABC$, seja $P$ o ponto de contato das duas circunferências. Da mesma forma, considere o círculo ${\omega }_C$ tangente internamente aos lados $CB$ e $CA$, e ao circuncírculo do triângulo $ABC$, seja $Q$ o ponto de contato dos dois círculos. Mostre que o incentro do triângulo $ABC$ está no segmento $PQ$ se e somente se $AB+AC=3BC$. proposto por Luis Eduardo Garcia Hernandez, México