Q4 Matemática  (Romanian Masters of Mathematics Collection 2016)

Um treinador de sapos coloca um sapo em cada vértice de um triângulo equilátero $ABC$ de comprimento de lado unitário. O treinador pode fazer um sapo pular sobre o outro ao longo da linha que une os dois, de modo que o comprimento total do salto seja um múltiplo par da distância entre os dois sapos antes do salto. Sejam $M$ e $N$ dois pontos nos raios $AB$ e $AC$, respectivamente, emanados de $A$, tais que $AM=AN=\ell$, onde $\ell$ é um inteiro positivo . Depois de um número finito de saltos, os três sapos ficam todos no triângulo $AMN$ (dentro ou na fronteira), e não são realizados mais saltos. Determine o número de posições finais que os três sapos podem alcançar no triângulo $AMN$. (Durante o processo, os sapos podem deixar o triângulo $AMN$, apenas suas posições finais devem estar nesse triângulo.)