Q6 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2019)

Seja $\alpha >1$ um número real tal que a sequência $a_n=\alpha \lfloor {\alpha }^n\rfloor -\lfloor {\alpha }^{n+1}\rfloor$, com $n\ge 1$ , é periódica, ou seja, existe um inteiro positivo $p$ tal que $a_{n+p}=a_n$ para todo $n$. Prove que $\alpha$ é um inteiro.