Q4 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2018)

Seja $ABC$ um triângulo agudo com $AC>AB$. seja $\Gamma$ o círculo circunscrito ao triângulo $ABC$ e $D$ o ponto médio do menor arco $BC$ desta circunferência. Sejam $E$ e $F$ pontos dos segmentos $AB$ e $AC$ respectivamente tais que $AE=AF$. Seja $P\ne A$ o segundo ponto de intersecção do círculo circunscrito a $AEF$ com $\Gamma$. Sejam $G$ e $H$ as interseções das linhas $PE$ e $PF$ com $\Gamma$ diferentes de $P$, respectivamente. Sejam $J$ e $K$ os pontos de intersecção das linhas $DG$ e $DH$ com as linhas $AB$ e $AC$, respectivamente. Mostre que a linha $JK$ passa pelo ponto médio de $BC$