Q6 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2016)

Quando os números naturais são escritos um após o outro de forma crescente, obtém-se uma sucessão infinita de dígitos $\mathrm{123456789101112....}$ Denote $A_k$ o número formado pelos primeiros $k$ dígitos desta sequência . Prove que para todo inteiro positivo $n$ existe um inteiro positivo $m$ que verifica simultaneamente as três seguintes condições: (i) $n$ divide $A_m$, (ii) $n$ divide $m$, (iii) $n$ divide a soma dos dígitos de $A_m$.