Q1 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2014)

Seja $n\ge 3$ um inteiro positivo. Determine, em termos de $n$, quantas triplas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfazem as condições: $\bullet$ $A,B$ e $C$ são disjuntos aos pares, ou seja, $AcapB=A\cap C=B\cap C=\varnothing$. $\bullet$ $A\cup B\cup C=\{1,2,...,n\}$. $\bullet$ A soma dos elementos de $A$, a soma dos elementos de $B$ e a soma dos elementos de $C$ deixam o mesmo resto quando dividido por $3$. Nota: Um ou mais conjuntos podem estar vazios.