Q3 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2013)

Uma divisão de um grupo de pessoas em vários grupos é chamada $k$-regular se o número de grupos for menor ou igual a $k$ e duas pessoas que se conhecem estiverem em grupos diferentes. Sejam $A$, $B$ e $C$ grupos de pessoas tais que não haja nenhuma pessoa em $A$ e nenhuma pessoa em $B$ que se conheçam. Suponha que o grupo $A\cup C$ tenha uma divisão $a$-regular e o grupo $B\cup C$ tenha uma divisão $b$-regular. Para cada $a$ e $b$, determine o menor valor possível de $k$ para o qual é garantido que o grupo $A\cup B\cup C$ tenha uma divisão $k$-regular.