Q2 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2008)

Em uma linha, existem $n$ intervalos fechados (nenhum dos quais é um único ponto) cuja união denotamos por $S$. Sabe-se que para cada número real $d$, $0<d\le 1$, existem dois pontos em $S$ que estão a uma distância $d$ um do outro. (a) Mostre que a soma dos comprimentos dos intervalos fechados $n$ é maior que $\frac{1}{n}$. (b) Prove que, para cada inteiro positivo $n$, o $\frac{1}{n}$ no enunciado da parte (a) não pode ser substituído por um número maior.