Q3 Matemática  (Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2001)

Para cada inteiro $n>1$, a sequência $\left(S_n\right)$ é definida por $S_n=\lfloor 2^n\underset{nradicais}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}}\rfloor$ onde $\lfloor x\rfloor$ denota a função piso de $x$. Prove que $S_{2001}=2S_{2000}+1$. .