Q12 Matemática  (Pan African 2018)

Solução Sejam os números dos setores $x_1,x_2,\dots ,x_n$, e suponha que inicialmente $x_1=0$, enquanto $x_i=1$ para $i>0$. Depois de escolher o único zero disponível, temos que $x_n=x_2=0$, e $x_i=1$ caso contrário. Suponha que estamos na posição em que $x_n=0$, $x_1=x_2=\cdots =x_k=0$, $x_{k+1}=1$ e $x_{k+2}=0$. Escolhendo $0$ na posição $k+2$, obtemos a configuração onde $x_n=0$, $x_1=x_2=\cdots =x_{k+1}=0$, $x_{k+2}=1$ e $x_{k+3}=0$. Continuando assim, obtemos a configuração onde $x_{n-2}=1$, e $x_i=0$ caso contrário. Se $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, nesse ponto podemos dividir o $0$ em grupos de $3$ e aplicar o procedimento ao $0$ no meio de cada grupo para conter uma configuração em que cada setor contém um $1$. Se $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, então aplicamos o procedimento ao $0$ no setor $n-1$ para obter a configuração onde $x_{n-1}=x_n=1$ e $x_i=0$ caso contrário. Podemos então dividir novamente os $0$s restantes em grupos de $3$ e aplicar o procedimento aos $0$ no meio de cada grupo. Finalmente, mostramos que se $n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, então o procedimento nunca termina. Seja $A=x_1+x_4+\cdots +x_{n-2}$, $B=x_2+x_5+\cdots +x_{n-1}$ e $C=x_3+x_6+\cdots +x_n$ . Notamos que inicialmente temos que $A=\frac{n}{3}-1$, e $B=C=\frac{n}{3}$, enquanto na configuração onde cada setor contém um $1$ temos temos que $A=B=C=\frac{n}{3}$. Notamos agora que a operação permitida altera a paridade de $A$, $B$ e $C$. Em particular, sempre temos que $A$, $B$ e $C$ não possuem a mesma paridade e, portanto, não é possível obter uma configuração em que $A=B=C$.