Q10 Matemática  (Pan African 2018)

Solução Primeiro escrevemos $d=\frac{ac}{b}$ então temos $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=4$ e queremos mostrar que $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{ac}+\frac{ac}{b^2}$ ou equivalente $(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})⩽-12$. Defina $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=s$ e $\frac{c}{b}+\frac{b}{c}=t$. Temos $s+t=4$ e queremos $st⩽-12$. Temos $t=4-s$ e por isso precisamos de $s(4-s)⩽-12\Rightarrow s^2-4s-12⩾0$. Se $s⩽-2$, isso vale (na verdade, defina $s=-2+k$ e temos $s^2-4s-12=(k-2{)}^2-4(k-2)-12=k^2-8k-16=(k-4{)}^2⩾0$. Então, suponha que $s⩾-2$. Da mesma forma, suponha $t⩾-2$. Temos então $fracab+\frac{b}{a}⩾-2\Rightarrow \frac{(a+b{)}^2}{ab}>0$, então $ab>0$ e $bc>0$, então $a,b,c,$ são do mesmo sinal, então $4=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}⩾2+2=4$, então $a=b=c$, contradição, já que $a\ne b\ne c\ne a$. Então, pelo menos um de $s,t$ é $⩽-2$ e a desigualdade declarada é válida. A igualdade, por exemplo, quando $(a,b,c,d)=(2\sqrt{2}-3,3-2\sqrt{2},1,-1)$ (e isso mostra que $-12$ é o máximo).