Q6 Matemática  (Pan African 2018)

Solução É fácil ver usando indução que o termo geral da série é $$a_n=2^{\lfloor \sqrt{2n+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\rfloor +\frac{1}{2}\cdot \lfloor \sqrt{2n+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\rfloor \cdot \lfloor \sqrt{2n+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\rfloor -n}\cdot \left(2n-\lfloor \sqrt{2n+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\rfloor \cdot \lfloor \sqrt{2n+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\rfloor +1\right)$$ Isso basicamente diz que quando expressamos os elementos em um matriz da forma $$\begin{array}{cccc}{a}_1,& & & \\ a_2,& a_3& & \\ a_4,& a_5,& a_6& \\ ⋮& ⋮& ⋮& \\ a_{\frac{n(n+1)}{2}+1},& a_{\frac{n(n+1)}{2}+2},& \cdots ,& a_{\frac{n(n+1)}{2}+n}\end{array}$$ Obtemos isto: $$\begin{array}{cccc}{2}^0\cdot 1,& & & \\ 2^1\cdot 1,& 2^0\cdot 32^2\cdot 1,& 2^1\cdot 3,& 2^0\cdot 5\\ ⋮& ⋮& ⋮& \\ 2^n\cdot 1,& 2^{n-1}\cdot 3,& \cdots ,& 2^0\cdot (2n-1)\end{array}$$ Então $2018$ aparece uma vez, e exatamente uma vez na sequência.