Q4 Matemática (Pan African 2018)

04 | Pan African | 2018 | Matemática

Solução Sejam $g_{1}, g_{2}, \dots, g_{2 x}$ as meninas e $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{x}$ os meninos. Seja $G, B$ o total de vitórias de meninas e meninos, respectivamente. No total, foram disputadas partidas $(2 3 x)$ , então temos no total $(2 3 x)$ vitórias. Então, $G + B = \frac{( 3 x - 1 ) 3 x}{2}$ . Além disso, sabemos que $\frac{G}{B} = \frac{7}{9}$ , então $\frac{16 G}{7} = \frac{( 3 x - 1 ) 3 x}{2}$ . Os jogos jogados por duas garotas são $2 x^{2} - x$ , então $G ⩾ 2 x^{2} - x \Rightarrow \frac{( 3 x - 1 ) 3 x}{2} ⩾ \frac{32 x ^{2} - 16 x}{7} \Rightarrow x ⩽ 11$ . Mas devemos ter $G = \frac{21 x ( 3 x - 1 )}{32}$ , então $32 ∣ 3 x^{2} - x$ e como $x ⩽ 11$ , podemos facilmente obter $x = 11$ . Agora podemos construir um exemplo para mostrar que esse valor é atingível, então $33$ jogadores participaram.