Q4 Matemática  (Nordic 2018)

Seja $f=f(x,y,z)$ um polinômio em três variáveis $x$, $y$, $z$ tal que $f(w,w,w)=0$ para todo $w\in \mathbb{R}$. Mostre que existem três polinômios $A$, $B$, $C$ nessas mesmas três variáveis tais que $A+B+C=0$ e $$f(x,y,z)=A(x,y,z)\cdot (xy)+B(x,y,z)\cdot (yz)+C(x,y,z)\cdot (zx).$$Existe algum polinômio $f$ para o qual esses $A$, $B$, $C$ sejam determinados de forma única?