Q3 Matemática  (Nordic 2013)

Defina uma sequência $(n_k{)}_{k\ge 0}$ por $n_0=n_1=1$ e $n_{2k}=n_k+n_{k-1}$ e $n_{2k+1}=n_k$ para $k\ge 1$. Seja mais $q_k=n_k$ / $n_{k-1}$ para cada $k\ge 1$. Mostre que todo número racional positivo está presente exatamente uma vez na sequência $(q_k{)}_{k\ge 1}$