Q7 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2021)

Sejam $n,b$ e $c$ inteiros positivos. Um grupo de piratas $n$ quer dividir seu tesouro de forma justa. O tesouro consiste em $c\cdot n$ moedas idênticas distribuídas em $b\cdot n$ sacos, dos quais pelo menos $n-1$ sacos estão inicialmente vazios. Capitão Jack inspeciona o conteúdo de cada saco e, em seguida, executa uma sequência de movimentos. Em um movimento, ele pode pegar qualquer quantidade de moedas de um único saco e colocá-las em um saco vazio. Prove que não importa como as moedas são inicialmente distribuídas, Jack pode realizar no máximo $n-1$ movimentos e então dividir as sacolas entre os piratas de forma que cada pirata receba $b$ sacolas e $c$ moedas.